Dans ce papier, nous introduisons une nouvelle distance sur l’espace des mesures positive dans un domaine $\Omega$. Cette distance satisfait plusieurs proprietes interessantes : par exemple, elle fait de l’espace des mesures positives dans $\Omega$ un espace geodesique, sans aucune hypothese de convexite sur le domaine. De plus, on montre que le flot gradient de la fonctionnelle d’entropie par rapport a cette distance donne lieu a l’equation de la chaleur, avec condition de Dirichlet egale a 1 sur le bord.

In this paper we introduce a new transportation distance between non-negative measures inside a domain $\Omega$. This distance enjoys many nice properties, for instance it makes the space of non-negative measures inside $\Omega$ a geodesic space, without any convexity assumption on $\Omega$. Moreover, we will show that the gradient flow of the entropy functional w.r.t. this distance coincides with the heat equation, subject to the Dirichlet boundary condition equal to 1